INVERSA (DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR)

Transformações lineares podem possuir operadores inversos à direita e à esquerda, que não serão necessariamente iguais.

Uma transformação linear [B:F->E] chama-se uma inversa à direita da transformação linear  [A:E -> F] quando se tem [AB = If], ou seja, quando A(Bw)=w para todo [w pertence F].

A fim de que uma transformação linear [A:E -> F] entre espaços vetoriais de dimensão finita possua uma inversa à direita [B pertence L(F;E)], é necessário e suficiente que A seja sobrejetiva.

No caso da Inversa à esquerda, toma-se [A:E -> F] e [B:F->E] transformações lineares. Diz-se que B é uma inversa à esquerda de A quando [BA = IE], isto é, quando B(Av) = v para todo [v pertence E].

Sendo E e F espaços vetoriais de dimensão finita, a transformação linear [A:E -> F] possui inversa à esquerda se, e somente se, é injetiva.

Uma transformação linear [A:E -> F] chama-se invertível quando existe [B:F->E] linear tal que [BA = IE] e [AB = IF], ou seja, quando B é, ao mesmo tempo, inversa à esquerda e à direita de A. Neste caso, diz-se que B é a inversa de A e escreve-se [B = A elevado a (-1)].

Esta é a base do isomorfismo

Uma matriz [mxn] possui inversa à esquerda se, e somente se, seus vetores -coluna são L.I. e uma inversa à se, e somente se, esses vetores-coluna geram [Rm].

Pode-se também dizer que uma matriz a chama-se invertível quando é quadrada e existe uma matriz [a elevado a -1], chamada a inversa de a, tal que [a(-1)a = aa(-1) = I].

Uma matriz a possui uma inversa à esquerda x e uma inversa à direita y e então a é quadrada, é invertível e x = y = a(-1).

Uma matriz quadrada a admite uma inversa à esquerda se, e somente se, admite uma inversa à direita. Neste caso, a matriz a é invertível e cada uma dessas inversas laterais é igual a [a(-1)].


Fonte: Elon Lages Lima - "Álgebra Linear" - IMPA, 2001; Cap. 6.