A toda transformação linear [A:E -> F] estão associados dois subespaços vetoriais indispensáveis para se estudar o comportamento de A: o núcelo de A, que é um subespaço de E, e a imagem de A, que é um subespaço de F.
A IMAGEM de A é o subconjunto Im(A) [contido] F, formado por todos os vetores [w = Av pertence F] que são imagens de elementos de E, pela transformação A.
O NÚCLEO da transformação linear [A:E -> F] é o conjunto dos vetores [v pertence E] tais que Av = 0. comumente usa-se a notação N(A) para representar o núcleo de A, mas outras notações podem ser encontradas. É fácil ver que N(A) é um subespaço vetorial de E.
Sendo [A:E->F], pode-se demonstrar que núcleo N(A) é paralelo ao conjunto solução do sistema linear Ax = b, [V = {x pertence E; Ax = b}], para todo [b que pertence a ImA].
Este importante teorema tem um significado geométrico no qual o espaço vetorial E se exprime como uma reunião de lâminas paralelas [V = x0 + N(A)], cada uma das quais é uma variedade afim que se transforma por A num único ponto [b pertence Im(A)]. Este ponto naturalmente varia quando se passa de uma lâmina para outra.
O seui significado algébrico também é muito importante. O teorema significa que para cada [b pertence Im(A)], obtém-se todas as soluções [x pertence E] do sistema linear Ax = b assim:acha-se uma "solução particular" [x0] desse sistema e a solução geral [x = x0 + v] é a soma dessa solução particular com a "solução geral v do sistema homogêneo associado" [Ax = 0]. Naturalmente, esta última é um elemento qualquer do núcleo de A. Se [b diferente Im(A)] então o sistema Ax = b, evidentemente, não possui solução.
Por fim, é importante citar que, dados os espaços vetoriais E, F de dimensão finita, para toda transformação linear [A:E->F] tem-se [dimE = dimN(A) + dimIm(A)].
Fonte: Elon Lages Lima - "Álgebra Linear" - IMPA, 2001. Pág. 63.
Sendo [A:E->F], pode-se demonstrar que núcleo N(A) é paralelo ao conjunto solução do sistema linear Ax = b, [V = {x pertence E; Ax = b}], para todo [b que pertence a ImA].
Este importante teorema tem um significado geométrico no qual o espaço vetorial E se exprime como uma reunião de lâminas paralelas [V = x0 + N(A)], cada uma das quais é uma variedade afim que se transforma por A num único ponto [b pertence Im(A)]. Este ponto naturalmente varia quando se passa de uma lâmina para outra.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
O seui significado algébrico também é muito importante. O teorema significa que para cada [b pertence Im(A)], obtém-se todas as soluções [x pertence E] do sistema linear Ax = b assim:acha-se uma "solução particular" [x0] desse sistema e a solução geral [x = x0 + v] é a soma dessa solução particular com a "solução geral v do sistema homogêneo associado" [Ax = 0]. Naturalmente, esta última é um elemento qualquer do núcleo de A. Se [b diferente Im(A)] então o sistema Ax = b, evidentemente, não possui solução.
Por fim, é importante citar que, dados os espaços vetoriais E, F de dimensão finita, para toda transformação linear [A:E->F] tem-se [dimE = dimN(A) + dimIm(A)].
Fonte: Elon Lages Lima - "Álgebra Linear" - IMPA, 2001. Pág. 63.
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