CONJUNTO CONVEXO

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VARIEDADE AFIM

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VETORES CANÔNICOS

CONJUNTO DE GERADORES

HIPERPLANO

SUBESPAÇO VETORIAL

HOMOTETIA

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INVOLUÇÃO

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SOMA DIRETA

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ISOMORFISMO

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INJETIVA (TRANSFORMAÇÃO LINEAR)

Uma transformação linear [A:E -> F] chama-se injetiva quando [v diferente v'] em [E implica Av diferente Av'] em F. Equivalentemente: [Av = Av' implica v = v']. Esta noção tem sentido para qualquer função [A:E->F], seja ela linear ou não.

Pode-se demonstrar que, a fim de que uma transformação linear [A:E -> F] seja injetiva é necessário e suficiente que seu núcleo N(A) contenha apenas o vetor nulo, assim como, uma transformação linear é injetiva se, e somente se, leva vetores L.I. em vetores L.I..

INVERSA (DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR)

Transformações lineares podem possuir operadores inversos à direita e à esquerda, que não serão necessariamente iguais.

Uma transformação linear [B:F->E] chama-se uma inversa à direita da transformação linear  [A:E -> F] quando se tem [AB = If], ou seja, quando A(Bw)=w para todo [w pertence F].

A fim de que uma transformação linear [A:E -> F] entre espaços vetoriais de dimensão finita possua uma inversa à direita [B pertence L(F;E)], é necessário e suficiente que A seja sobrejetiva.

No caso da Inversa à esquerda, toma-se [A:E -> F] e [B:F->E] transformações lineares. Diz-se que B é uma inversa à esquerda de A quando [BA = IE], isto é, quando B(Av) = v para todo [v pertence E].

Sendo E e F espaços vetoriais de dimensão finita, a transformação linear [A:E -> F] possui inversa à esquerda se, e somente se, é injetiva.

Uma transformação linear [A:E -> F] chama-se invertível quando existe [B:F->E] linear tal que [BA = IE] e [AB = IF], ou seja, quando B é, ao mesmo tempo, inversa à esquerda e à direita de A. Neste caso, diz-se que B é a inversa de A e escreve-se [B = A elevado a (-1)].

Esta é a base do isomorfismo

Uma matriz [mxn] possui inversa à esquerda se, e somente se, seus vetores -coluna são L.I. e uma inversa à se, e somente se, esses vetores-coluna geram [Rm].

Pode-se também dizer que uma matriz a chama-se invertível quando é quadrada e existe uma matriz [a elevado a -1], chamada a inversa de a, tal que [a(-1)a = aa(-1) = I].

Uma matriz a possui uma inversa à esquerda x e uma inversa à direita y e então a é quadrada, é invertível e x = y = a(-1).

Uma matriz quadrada a admite uma inversa à esquerda se, e somente se, admite uma inversa à direita. Neste caso, a matriz a é invertível e cada uma dessas inversas laterais é igual a [a(-1)].


Fonte: Elon Lages Lima - "Álgebra Linear" - IMPA, 2001; Cap. 6.

SOBREJETIVA (TRANSFORMAÇÃO LINEAR)

Se Im(A) = F, diz-se que a transformação A é sobrejetiva. Isto significa que, para qualquer [w pertence F] dado, pode-se achar [v pertence E] tal que [A.v = w]

NÚCLEO E IMAGEM

A toda transformação linear [A:E -> F] estão associados dois subespaços vetoriais indispensáveis para se estudar o comportamento de A: o núcelo de A, que é um subespaço de E, e a imagem de A, que é um subespaço de F.

A IMAGEM de A é o subconjunto Im(A) [contido] F, formado por todos os vetores [w = Av pertence F] que são imagens de elementos de E, pela transformação A.

O NÚCLEO da transformação linear [A:E -> F] é o conjunto dos vetores [v pertence E] tais que Av = 0. comumente usa-se a notação N(A) para representar o núcleo de A, mas outras notações podem ser encontradas. É fácil ver que N(A) é um subespaço vetorial de E.

Sendo [A:E->F], pode-se  demonstrar que núcleo N(A) é paralelo ao conjunto solução do sistema linear Ax = b, [V = {x pertence E; Ax = b}], para todo [b que pertence a ImA].

Este importante teorema tem um significado geométrico no qual o espaço vetorial E se exprime como uma reunião de lâminas paralelas [V = x0 + N(A)], cada uma das quais é uma variedade afim que se transforma por A num único ponto [b pertence Im(A)]. Este ponto naturalmente varia quando se passa de uma lâmina para outra.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

O seui significado algébrico também é muito importante. O teorema significa que para cada [b pertence Im(A)], obtém-se todas as soluções [x pertence E] do sistema linear Ax = b assim:acha-se uma "solução particular" [x0] desse sistema e a solução geral [x = x0 + v] é a soma dessa solução particular com a "solução geral v do sistema homogêneo associado" [Ax = 0]. Naturalmente, esta última é um elemento qualquer do núcleo de A. Se [b diferente Im(A)] então o sistema Ax = b, evidentemente, não possui solução.

Por fim, é importante citar que, dados os espaços vetoriais E, F de dimensão finita, para toda transformação linear [A:E->F] tem-se [dimE = dimN(A) + dimIm(A)].

Fonte: Elon Lages Lima - "Álgebra Linear" - IMPA, 2001. Pág. 63.

OPERADOR NILPOTENTE

Um operador A chama-se nilpotente quando, para algum [n pertence naturais], tem-se [A elevado a n = 0]. Um exemplo significativo de operador nilpotente é a derivação [D:Pn -> Pn]. Para todo polinômio p de grau [menor ou igual a n] tem-se [D elevado a (n+1) p = 0], logo [D elevado n + 1 = 0].

OPERADOR IDENTIDADE

Trata-se de um operador linear especial [I:E->E], definido por I.v = v para todo [v pertence E]

FUNCIONAIS LINEARES

Trata-se das transformações lineares [fi : E -> R], com valores numéricos.

OPERADORES LINEARES

Trata-se das transformações lineares [A: E -> E] do espaço vetorial E em si mesmo.

TRANSFORMAÇÃO LINEAR

Seja E, F espaços vetoriais. Uma tranformação linear [A : E -> F] é uma correspondência que associa a cada vetor [v pertence E] um vetor [A(v) = A.v = Av pertence F] de modo que valham, para quaisquer [u, v que pertençam a E] e [alfa pertence R], as relações:

A(u + v) = Au + Av,

A(alfa . v) = [alfa . Av]

O vetor A.v chama-se a imagem (ou o transformado) de v pela transformação A.

A soma de duas transformações lineares [A,B: E -> F] é dada por [A + B: E -> F];

O produto de uma transformação linear [A: E -> F] por um número [alfa pertence R] é dado por [(alfaA)v = alfa.Av];

Uma transformação linear [A:E -> F] é um tipo particular de função que tem o espaço vetorial E como domínio e o espaço F como contra-domínio.

SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

Um sistema linear é chamado de homogêneo quando o segundo membro de cada equação é igual a zero. todo sistema homogêneo admitie pelo menos a solução trivial (0,0,...,0).

Pode-se demonstrar que todo sistema linear homogêneo cujo número de incógnitas é maior do que o número de equações admite uma solução não-trivial.